\section{一元多项式}
\begin{frame}{一元多项式}
在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域 $P$ 作为基础。 
\pause
设 $x$ 是一个\emph{符号} (或称\emph{文字}), 我们有

\begin{definition}
设 $n$ 是一非负整数。 形式表达式
\begin{equation*}
a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0} \tag{1}
\end{equation*}
其中 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 全属于数域 $P$,称为系数在数域 $P$ 中的一个一元多项式，或者简称为数域 $P$ 上的\emph{一元多项式} (univariate polynomial)。
\end{definition}
\pause
在多项式 (1) 中， $a_{k} x^{k}$ 称为 \emph{$k$ 次项}， $a_{k}$ 称为 \emph{$k$ 次项的系数}。
以后我们用 $f(x), g(x)$, $\cdots$ 或 $f, g, \cdots$ 来代表多项式。

\pause
注意，我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式。 当这符号是未知数时，它是中学所学代数中的多项式。 看应用需要， 这个符号还可代表其他待定事物。 为了能统一研究未知数和其他待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表达式。 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律， 统一研究以得到它们普遍的公共的性质。
\end{frame}
\begin{frame}

\begin{definition}
  如果在多项式 $f$ 与 $g$ 中， 除去系数为零的项外， 同次项的系数全相等， 那么 $f$ 与 $g$ 就称为\emph{相等}， 记为
\(
f=g .
\)
系数全为零的多项式称为\emph{零多项式}， 记为 $0$.
\end{definition}

\pause
在 (1) 中，如果 $a_{n} \neq 0$, 那么 $a_{n} x^{n}$ 称为多项式 (1) 的\emph{首项} (leading term)， $a_{n}$ 称为\emph{首项系数} (leading coefficient)， $n$称为多项式 (1) 的次数；若$f$的首项系数为$1$, $f$也称为\emph{首一的} (monic)。 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 多项式 $f$ 的次数 (degree)
记为
\[\tag{1}
  \partial f  \quad \text{或}\quad \deg f.
\]
因为零多项式不定义次数%
\footnote{有些地方定义零多项式的次数为$-\infty$, 并且把数的运算延拓到 $-\infty$, 仍能得到$\deg fg =\deg f+ \deg g$.}
， 所以在用符号 $\partial(f)$ 时， 总是假定 $f \neq 0$. 以后不再一一说明。
注意用$\partial$表示次数是个不常见的记法，一般次数用$\deg$表示。

\pause
在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、相减、相乘。例如，
\[
  \begin{aligned}
  \left(2 x^{2}-1\right)+\left(x^{3}-2 x^{2}+x+2\right) & =x^{3}+x+1, \\
\left(2 x^{2}-1\right)\left(x^{2}-x+1\right) & =2 x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-x^{2}+x-1 \\
& =2 x^{4}-2 x^{3}+x^{2}+x-1 .
\end{aligned}
\]
我们对形式表达式 (1), 可类似地引入这些运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式。

\end{frame}

\begin{frame}{多项式的运算}
设
\[
f=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}, \quad g=b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{0}
\]
是数域 $P$ 上两个多项式。那么可以写成
\[
  f=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, \quad g=\sum_{j=0}^{m} b_{j} x^{j}.
\]

\pause
在表示多项式 $f$ 与 $g$ 的和时， 如果 $n \geqslant m$, 为了方便起见， 在 $g$ 中令 $b_{n}=$ $b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$. 那么 $f$ 与 $g$ 的\emph{和、减}与$f$ 与 $g$ 的\emph{乘积}分别定义为
\[
\begin{aligned}
  f\pm g&= \left(a_{n}\pm b_{n}\right) x^{n}+ \left(a_{n-1}\pm b_{n-1}\right) x^{n-1}+\cdots+\left(a_{1}\pm b_{1}\right) x+ \left(a_{0}\pm b_{0}\right)\\
  &= \sum_{i=0}^{n}\left(a_{i}\pm b_{i}\right) x^{i},\\
  \pause
f g&= a_{n} b_{m} x^{n+m}+\left(a_{n} b_{m-1}+a_{n-1} b_{m}\right) x^{n+m-1}+\cdots+\left(a_{1} b_{0}+a_{0} b_{1}\right) x+a_{0} b_{0}\\
&= \sum_{s=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=s} a_{i} b_{j}\right) x^{s} .
\end{aligned}
\]
%其中 $s$ 次项的系数是
%\[
%a_{s} b_{0}+a_{s-1} b_{1}+\cdots+a_{1} b_{s-1}+a_{0} b_{s}=\sum_{i+j=s} a_{i} b_{j} .
%\]
%所以 $f g$ 可表成
%\[
%f g=\sum_{s=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=s} a_{i} b_{j}\right) x^{s} .
%\]
\pause
显然， 数域 $P$ 上的两个多项式经过加、减、乘等运算后， 所得结果仍然是数域 $P$ 上的多项式。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{observation*}
    \[
    \begin{gathered}
      \partial (f\pm g)  \leqslant \max\{\partial f, \partial g\};\\
      \pause
      \text{$fg\neq 0$当且仅当$f\neq 0, g\neq 0$};\\
      \pause
      \partial (fg) =  \partial f+ \partial g.
  \end{gathered}
\]
\end{observation*}
\pause
显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形。
\pause
\begin{proof}
我们只验证关于乘法的断言。设
\[
f=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}, \quad g=b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{0},
\]
其中 $a_{n} \neq 0, b_{m} \neq 0$, 于是 $f g$ 的首项是
\[
a_{n} b_{m} x^{n+m}.
\]
显然 $a_{n} b_{m} \neq 0$, 因之， $f g \neq 0$ 而且它的次数就是 $n+m$.
\end{proof}
由以上证明还看出， 多项式乘积的首项系数就等于它的因子首项系数的乘积。

~

\pause
和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律：
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{observation*}[多项式运算的性质]
  \begin{enumerate}
\item (加法交换律) $f+g=g+f$.
  \pause
\item (加法结合律) $(f+g)+h=f+(g+h)$.
  \pause
\item (乘法交换律) $f g=g f$.
  \pause
\item (乘法结合律) $(f g) h=f(g h)$.
  \pause
\item (乘法对加法的分配律) $f(g+h)=f g+f h, (g+h)f=gf+hf$. \\
  \pause
  更一般地，
  $f\left( \sum_{i=1}^s g_i \right)=\sum_{i=1}^s fg_i, 
  \left( \sum_{i=1}^s g_i \right)f=\sum_{i=1}^s g_if.$
  \pause
\item (乘法消去律) 如果 $f g=f h$ 且 $f \neq 0$, 那么 $g=h.$
\end{enumerate}
\end{observation*}

\pause
再来回头看下我们定义的多项式的加法和乘法。我们的加法就是合并同类项（同类项指次数相同的单项式）；
我们期望加法交换律、结合律成立，加法的定义是自然的。
对于乘法，我们期望分配律成立，乘法的定义也是自然的;
定义$ax^n\cdot bx^m=ab x^{n+m}$是自然的，这个部分定义的乘法惟一地延拓为满足分配律的乘法。

\pause
结合律的好处：一旦乘法结合律成立，多个多项式的乘积将不依赖于结合的方式。%
\footnote{正式的表述和严格的证明参见~Artin 《代数》中命题2.1.4.}
\pause
例如
\[
  ((f_1f_2)f_3)f_4=(f_1(f_2f_3))f_4=f_1( (f_2f_3) f_4)=\cdots
\]
\pause
所以我们可以毫无歧义地把$(\cdots((f_1f_2)f_3)\cdots)f_s$写为$f_1f_2f_3\cdots f_s.$

\pause
这些规律都很容易证明。 下面只给出乘法结合律和乘法消去律的证明。

\begin{proof}
(5) 因为
$f g=f h$,
有
$f(g-h)=0,$
而 $f \neq 0$, 所以 $g-h=0$, 也就是
$g=h$.
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
(4) 设
\[
f=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i},\quad g=\sum_{j=0}^{m} b_{j} x^{j},\quad h=\sum_{k=0}^{l} c_{k} x^{k} .
\]
现在来证
$(f g) h=f(g h).$
等式左边， $f g$ 中 $s$ 次项的系数为
$\sum_{i+j=s} a_{i} b_{j}$,
因此左边 $t$ 次项的系数为
\[
\sum_{s+k=t}\left(\sum_{i+j=s} a_{i} b_{j}\right) c_{k}=\sum_{i+j+k=t} a_{i} b_{j} c_{k} .
\]
    在右边， $g h$ 中 $r$ 次项的系数为
$\sum_{j+k=r} b_{j} c_{k}$.
因此右边 $t$ 次项的系数为
\[
\sum_{i+r=t} a_{i}\left(\sum_{j+k=r} b_{j} c_{k}\right)=\sum_{i+j+k=t} a_{i} b_{j} c_{k} .
\]
与左边 $t$ 次项的系数一样， 所以左、右两边相等， 这就证明了乘法满足结合律。
\end{proof}

\pause
最后我们引入%
\footnote{上述运算性质表明所有一元多项式的集合有环结构；实际上，还是个$P$-代数。}

\begin{definition}
  所有系数在数域 $P$ 中的一元多项式的全体， 称为数域 $P$ 上的\emph{一元多项式环}， 记为 $P[x]$.
  $P$ 称为 $P[x]$ 的\emph{系数域}或\emph{基域}。
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}{改写求和}
  
\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item $P[x]$中的加法、减法、乘法如何定义？满足哪些性质？次数在加、减、乘运算下行为如何？
  \end{enumerate}
\end{frame}
